МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” ДОСЛІДЖЕННЯ СПЕКТРІВ ДИСКРЕТНИХ СИГНАЛІВ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до лабораторної роботи з курсу “Методи та засоби комп’ютерних інформаційних технологій” для студентів базового напрямку 6.0804 “Комп’ютерні науки” Затверджено на засіданні кафедри “Системи автоматизації проектування” Протокол № 9 від 07.02.2002 р. Львів – 2002  Дослідження спектрів дискретних сигналів: Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу “Методи та засоби комп’ютерних інформаційних технологій”для студентів базового напрямку 6.0804 “Комп’ютерні науки”. / Укл.: В.В. Мазур, Мотика І.І. – Львів: Видавництво Національного університету“ Львівська політехніка”, 2002. - 11 с. Укладачі Мазур В.В., канд. техн. наук, доц. Мотика І.І., канд. техн. наук, доц. Відповідальний за випуск Ткаченко С.П., канд, техн. наук, доц. Рецензенти Стех Ю.В., канд. техн. наук., доц. Кравець П.О., канд. техн. наук., доц.  1. МЕТА РОБОТИ Мета роботи – отримати практичні навики використання програми спектрального аналізу, дослідити спектри дискретних сигналів різної форми та визначити їх особливості. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ Визначення спектральних складових дискретних (дискретизованих) сигналів. Обробка та дослiдження сигналiв з використанням персональних ЕОМ вимагає їх дискретного цифрового представлення. При цьому сигнали описуються сукупнiстю N вiдлiкiв (xk, k=0,N-1) на заданому iнтервалi часу (0,T). Ця сукупнiсть вiдлiкiв може описувати дискретний сигнал Xд(t), або представляти миттєвi значення неперервного сигналу X(t) у певнi моменти часу. В останньому випадку розглядається дискретизована неперервна функцiя, яка при виконаннi певних умов буде адекватно представляти неперервну функцiю з необхiдною точнiстю (питання дискретизацii неперервних функцiй розглядаються в iншiй лабораторнiй роботi). Якщо задану сукупнiсть виборок подумки повторити безмежну кiлькiсть разiв, то дослiджуваний сигнал можна вважати перiодичним. Для визначення спектру можна ввести певну математичну модель дискретного перiодичного сигналу i використати розклад у ряд Фур'є. Якщо сигнал неперервний, то за допомогою послiдовностi дельта-iмпульсiв можна отримати його дискретне представлення на iнтервалi (0,T).
(1) де: xk = X(k*d) - вiдлiки у k-й точцi; d – інтервал дискретизації; N=T/d. Дискретну модель можна представити комплексним рядом Фур'є:

(2) з коефiцiєнтами
(3) Пiдставивши (1) в (3) пiсля нескладних математичних перетворень отримаємо
(4) або у тригонометричнiй формi
(5)
(6)
(7)
(8) Необхiдно зауважити, що при обчисленнi кута з використанням арктангенса потрiбно враховувати знаки Cns та Сnс для правильного визначення квадранта. Вказанi формули визначають послiдовнiсть коефiцiєнтiв спектральних складових заданого вiдлiками сигналу i описують дискретне перетворення Фур'є (ДПФ). Основнi властивостi ДПФ: ДПФ є лінійним перетворенням, тобто ДПФ суми сигналiв є сума коефiцiентiв ДПФ кожного з них, а змiна амплiтуд сигналу в М-разiв викликає таку ж змiну вiдповiдних коефiцiєнтiв С(n). Кiлькiсть рiзних коефiцiєнтiв С(0),...,С(N-1) визначається кiлькiстю вiдлікiв N (якщо n=N, то С(n)=C(0), тобто сигнали i спектри перiодично повторюються). Коефiцiєнт С(0) (нульова гармонiка, яка визначає постiйну складову є середнiм значенням всiх вiдлiкiв.
(9) Якщо кiлькicть вiдлiкiв N - парне число, то
(10) Якщо значення вiдлiкiв xk- дiйснi числа, то коефiцiенти ДПФ, номери яких симетричнi вiдносно N/2 утворюють комплекснi спряженi пари
(11) Тому можна вважати, що коефiцiенти С(N/2+1),...C(N-1) вiдповiдають вiд'ємним частотам. 2.3. Вiдновлення початкового сигналу по коефіцієнтах ДПФ. Якщо на основi заданих вiдлiкiв знайденi коефiцiєнти ДПФ (С(0),...,С(N/2)), то по цих коефiцiєнтах завжди можна вiдновити початковий сигнал Хд(t), або дискретизований сигнал X(t). Для такого сигналу ряд Фур'є записується скiнченою сумою
(12) де: │Сi│ - модуль амплiтуди вiдповiдної гармонiки, а (i - її фаза. Зворотн...